Integrasi Numerik (simpson dan trapezoidal)

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung luasan daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Jika suatu fungsi memiliki luasan yang baku seperti luasan persegi panjang dengan panjang x lebar, mungkin itu dapat dengan mudah dilakukan. tetapi umumnya sutu persamaan fungsi umumnya : fungsi linear, fungsi kuadra (polinomial).

contoh : mencari luasan pada fungsi dengan integrasi numerik.

• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)
• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan Numerik (penjumlahan bobot dari nilai fungsi) :

Dalam penjelasan perhitungan integral numerik ini akan dijelaskan 2 metode yaitu : Trapezidal dan Simpson. Berikut penjelasannya :

Trapezoidal :

trapezoidal linear

Aturan Komposisi :

Formula Trapezoidal :

Algoritma Trapezoidal :

Metode Simpson :

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Aproximasi dengan fungsi parabola :

Aturan komposisi simpson :

Algoritma :

1. Untuk i = 1 ke n+1, kerjakan instruksi berikut ( n+1 harus ganjil)
2. Baca fi
3. Ulang instruksi 1
4. Jumlah <– (fi + fn+i)
5. Untuk i=2 ke n, lompat 2, kerjakan instruksi berikut
6. Jumlah <– jumlah + 4 fi
7. Ulang instruksi 5
8. Untuk i=3 ke n-1, lompat 2, kerjakan instruksi berikut
9. Jumlah <– jumlah + 2 fi
10. Ulang instruksi 8
11. Integral <– (h x jumlah) / 3
12. Tulis integral
13. Berhenti  www.iaincirebon.ac.id

METODE NEWTON RAPSON

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

 

Prosedur Metode Newton :

menentukan x sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik x₁. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x₁ dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x₂, x₃, … x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson

persamaan garis l : y – y = m(x – x)

y – f(x) = f’(x)(x – x)

x₁ adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x

0 – f(x) = f’(x)(x₁ – x)

y = 0 dan x = x₁ maka koordinat titik (x₁, 0)

–  = (x₁ – x)

x₁ = x –

x₂ = x₁ –

.

.

.

x_n = x_n-1- untuk n = 1, 2, 3, …

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

f’(x) = 12x² – 30x + 17

iterasi 1 :

ambil titik awal x = 3

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)² – 30(3) + 17 = 35

x₁ = 3 – = 2.48571

iterasi 2 : 

f(2.48571) = 4(2.48571)³ – 15(2.48571)² + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)² – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x₂ = 2.48571 – = 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)³ – 15(2.18342)² + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)² – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x₃ = 2.18342 – = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)³ – 15(2.04045)² + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)² – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x₄ = 2.04045 – = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)³ – 15(2.00265)² + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)² – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x₅ = 2.00265 – = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)³ – 15(2.00001)² + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)² – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x₆ = 2.00001 – = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)³ – 15(2)² + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

n	xn	f(xn)	f’(xn)
1 2 3 4 5 6	3 2.48571 2.18342 2.04045 2.00265 2.00001 2.00000	18 5.01019 1.24457 0.21726 0.01334 0.00006 0.00000	35 16.57388 8.70527 5.74778 5.04787 5.00023 5.00000

karena pada iteasi ketujuh f(x₆) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x =2.
www.iaincirebon.ac.id 

taukah anda keistimewaan angka 7??

Apa angka yang paling anda sukai? Apa angka keberuntungan anda? Mungkin pertanyaan ini sering mampir ditelinga anda atau bahkan anda sering menyakannya kepada orang lain. Dari angka-angka yang ada, kali ini kita akan sedikit mengupas tentang keistimewaan dari angka 7 (tujuh). Tentu anda akan bertanyaan kenapa angka 7. Jawabannya mungkin karena memang tidak dapat dipungkiri, angka tujuh adalah salah satu angka istimewa, angka ini memiliki keistimewaan dalam berbagai rutinitas ibadah, alam semesta, dan juga sejarah. selain itu yang paling penting adalah angka 7 merupakan salah satu angka yang penulis sukai,,hehehe

hm,,,,ada rahasia apa dibalik angka ini?

check this out :

1. Allah memilih angka tujuh dalam penciptaan lapisan langit dan bumi yang berjumlah tujuh lapis.
2. Atom yang dianggap sebagai dasar pembentuk alam tersusun dari tujuh tingkatan elektron dan tidak mungkin lebih dari itu.
3. Jumlah hari dalam satu pekan yang berjumlah tujuh.
4. Jumlah warna pelangi sebanyak tujuh.
5. Rasulullah banyak menyebutkan angka tujuh dalam beberapa haditsnya.
6. Kita diperintah sujud dengan tujuh tulang.
7. Seorang mukmin bertawaf di sekeliling Baitullah sebanyak tujuh putaran, melakukan sa’I antara shafa dan marwa sebanyak tujuh kali juga, serta melempar jumrah dengan tujuh kali.
8. Kata kiamat dalam Al-qur’an disebutkan sebanyak 70 kali. Kata jahannam disebutkan dalam Al-Qur’an sebanyak 77 kali
9. Jumlah dari pintu neraka ada 7 pintu, subhanallah, kalimat jahannam dalam AlQuran jumlahnya ada 77 x, dan jumlah 77 ini adalah perkalian dari 7, yakni 7×11=77.
10. Dalam Al-Qur’an terdapat tujuh surah yang diawali dengan kalimat tasbih.
11. Angka tujuh digunakan Allah dalam perumpamaan dalam sedekah.
12. Terdapat tujuh ayat dalam Al-Qur’an yang menjelaskan tentang penciptaan langit. (QS. Al-A’raf: 54; QS Yunus: 3; QS Hud: 7; Al-Furqan: 59; As-Sajadah: 4; QS Qaf: 38; dan QS Al HAdid: 4)
13. Angka 7 adalah angka yang pertama sekali disebutkan didalam AlQuran, yaitu didalam Q.S AlBaqarah 29= Tsummastawaa ilassamaai fasawwa hunna SAB’A samawaatin, wahuwa bikulla syain ‘aliim.
14. Angka 7 adalah angka yang paling banyak diulang dalam AlQuran setelah angka 1 (ahad) tentunya., ini menunjukkan betapa pentingnya angka ini.
15. Awal surah dalam AlQuran adalah surah Al Fatihah, dia adalah semulia-mulia surah dalam AlQuran, itu sebabnya surah Al Fatihah dinamakan dengan sab’ul matsaani(silahkan dilihat kembali penafsiran surah ini), sementara jumlah ayatnya ada 7 ayat.
16. Jumlah bilangan huruf abjad dalam bahasa Arab yang diturunkan oleh Allah ta’ala dalam AlQuran ada 28 huruf. Jumlah 28 ini adalah perkalian dari angka 7, yakni 7×4=28.

selain itu ada lagi loooooh:

Indonesia sendiri mempunyai sejarah unik sdebenarnya  tentang angka 7, karena apabila kita lihat ternyata  khusus di Indonesia kita punya dua versi angka 7 dimana yang pertama adalah angka tujuh tanpa garis tengah dan angka tujuh dengan garis tengah. Anda mungkin heran karena hanya di Indonesia ada hal ini,hehehe!!!

Untuk membahas sejarahnya, tidak akan cukup dalam sebuah postingan ini, jadi silahkan lihat sendiri di Google infonya. Angka 7 memang banyak digunakan untuk berbagai kepentingan, nah berikut adalah keistimewaan angka 7 yang berhasil saya himpun, ceck this out ; 

1. Pertama adalah World 7 Wonders (7 Keajaiban Dunia), kenapa harus dibatasi hingga tujuh keajaiban? Silahkan Googling untuk alasan lebih lengkap. hehehe
2. Kita -khususnya di Indonesia- sering berkata ‘Pusing 7 Keliling’, (tentu anda tidak bilang pusing 6 keliling atau 8 keliling kan?)
3. Kembali di Indonesia, bukankah istilah ‘Langit ke-7’ selalu diucapakan? Bukan langit ke-5 atau ke-3 mungkin…hahaha,
4. Ada kebiasaan di beberapa kebudayaan di Indonesia yang menggunakan angka ini dalam berbagai ritual seperti ‘Mandi Kembang 7 Rupa’ atau ‘Kembang 7 Taman’ lalu adalagi ‘Minum Air 7 Sumur’
5. Ada band di Indoonesia yang menggunakan angka 7 yaitu Sheila On 7 
6. Bila anda menelepaon teman anda atau nomor siapa saja yang tidak menggunakan nada sapa, akan ada 7 kali bunyi ’tuut’ sampai akhirnya panggilan anda di hentikan karena tidak ada jawaban.
7. Kita punya stasiun TV yang bertitel TV7 yang kemudian berganti nama tapi tetap mempertahankan angka 7-nya yaitu Trans7, selain itu masih dalam stasiun TV ini, ada sebuah acara menarik yaitu On The Spot yang menayangkan pemeringkatan hal-hal unik yang juga dibatasi dengan angka 7 berdasarkan versi mereka sendiri. Misalnya ‘7 Band Rock Paling Bersinar Versi On The Spot) hehehe…
8. Anda tentu tau bagaimana dekatnya King of Pop (Michael Jackson) dengan angka 7 semasa hidup hingga saat-saat kematiannya. Bila belum tau, silahkan Googling untuk info lengkapnya. Tapi disina akan saya jelaskan sedikit ; Jacko menulis surat wasiatnya tanggal 7-7-2002, kemudian 7 tahun kemudian dia meninggal dunia, pemakaman Jacko dilakukan tanggal 7 bulan 7 2009, nama MICHAEL JACKSON sendiri masing-masing terdiri dari 7 angka. 
9. Ada Windows 7 yang sedang ‘in’ sekarang, mengapa setelah Windows XP dan versi-versi lanjutannya harus melompat ke Windows 7 ya??? Mengapa Microsoft tidak memulai dari Windows 1, Windows 2 dst…?? Mengapa langsung Windows 7 ?? (Itulah istimewanya angka 7)
10. Dalam beberapa kesempatan saat kita sedang dalam emosi maksimal terhadap seseorang, maka akan keluar kata ”Semoga loe sial 7 turunan”
11. Master of Number ‘Joe Sandy’ pernah mengatakan dalam sebuah acara Membongkar Rahasia Copywiting angka 7 , bahwa dari angka 1 sampai 10 orang cenderung memilih angka 7. Hal serupa sebelumnya pernah diungkapkan oleh pakar copywriting dunia Ted Nicholas

Masih ada banyak keistimewaan angka 7 lainnya, Bila anda merasa tau lebih banyak…
Silahkan share di kotak komentar dibawah postingan ini.
Terima kasih, semoga bermanfaat.

^_^

Keistimewaan dan kedudukan wanita dalam islam

Seorang wanita perlu taat kepada suaminya. akan tetapi tahukah, bahwa laki-laki wajib taat kepada Ibunya 3 kali lebih utama daripada kepada Bapaknya….

Seorang wanita menerima warisan lebih sedikit dari pada laki-laki. Tapi tahukah, bahwa harta itu menjadi milik pribadinya dan tidak perlu diserahkan kepada Suaminya, sementara apabila laki-laki menerima warisan, Ia perlu/wajib juga menggunakan hartanya untuk Isteri dan anak-anaknya.

Seorang wanita perlu bersusah payah mengandung dan melahirkan anak. Tapi tahukah bahwa setiap saat dia didoakan oleh segala umat,malaikat dan seluruh makhluk ALLAH di muka bumi ini. Dan tahukah, jika ia mati karena melahirkan adalah Syahid dan Surga akan menantinya…Di akhirat kelak.

Seorang lelaki akan dipertanggung jawabkan terhadap 4 wanita, yaitu:
1. Isterinya,
2. Ibunya,
3. Anak Perempuannya dan
4. Saudara Perempuannya.

ini artinya bagi seorang wanita tanggung jawab terhadapnya ditanggung oleh 4 orang lelaki.
yaitu:
1. Suaminya,
2. Ayahnya,
3. Anak Lelakinya dan
4. Saudara Lelakinya.

Seorang wanita boleh memasuki pintu surga melalui pintu surga yang mana saja yang disukainya, cukup dengan 4 syarat saja, yaitu :
1. Sholat 5 waktu,
2. Puasa di bulan Ramadhan,
3. Taat kepada Suaminya, dan
4. Menjaga Kehormatannya.

Seorang lelaki wajib berjihad fisabilillah, sementara bagi wanita jika taat akan suaminya serta menunaikan tanggungjawabnya kepada ALLAH SWT, maka ia akan turut menerima pahala setara seperti pahala orang pergi berjihad fisabilillah tanpa perlu mengangkat senjata.

Subhanallah.....betapa istimewanya menjadi wanita, ^_^

wallahu'alam bishawab.....